平行四边形对角线平方和定理（斯特瓦尔特定理及推论简介）

斯特瓦尔特定理（Stewart's theorem）是一个描述三角形的三条边与切氏线（Cevian）长度之间关系的平面几何定理，其中切氏线是指三角形中一个顶点和对边上任意一点的连线。该定理的基础几何图形结构看似简单，但其含有6条线段元素，定理表达式记忆起来有一定难度。本文书写的定理表达式相对容易记忆，希望对大家有所帮助。

一、斯特瓦尔特定理的基本内容

如图1，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD(切氏线），则有：

AB²·DC+AC²·BD﹣AD²·BC = BC·BD·DC。

上图显示，连接AD后得到三个三角形（△ABC、△ABD和△ADC）和六条边（AB、AD、AC、BC、BD、DC），斯特瓦尔特定理揭示的正是这些边长的等量关系。下面介绍一种证明方法，具体步骤如下。

作AH⊥BC，垂足为H（图2）。根据勾股定理：

AC²=AH²+HC²

= AH²+(DC-DH) ²

= AH²+DC ²-2DC·DH+DH ²

=( AH²+ DH ²) +DC ²-2DC·DH

=AD²+DC ²-2DC·DH…………①;

同理证明AB² =BD² +AD² +2BD·DH…………②。

将①两边同时乘BD得：

AC²·BD= AD²·BD +DC ²·BD -2DC·DH·BD……③;

将②两边同时乘DC得：

AB²·DC =BD²·DC +AD²·DC +2BD·DH·DC……④。

将④+③得：

AB²·DC+ AC²·BD

= BD²·DC +AD²·DC + AD²·BD +DC ²·BD

= AD²（DC+BD）+ BD·DC（BD+DC）

= AD²·BC+BC·BD·DC。

故AB²·DC+AC²·BD﹣AD²·BC = BC·BD·DC成立。

二、斯特瓦尔特定理的推论

在斯特瓦尔特定理的基础上，如果切氏线为中线和角平分线时，我们可以得出如下推论。

1.中线长定理，又称阿波罗尼奥斯定理，是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，指的是三角形两边边长平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍。

如图3，D为BC的中点，连接AD，则BD=DC，BC=2BD，可将上述公式作如下变形：

AB²·DC+AC²·BD﹣AD²·BC = BC·BD·DC，即

AB²·BD+AC²·BD﹣AD²·2BD =2BD·BD ²，简化后：

AB²+ AC²=2（AD ²+ BD ²）。

2.角平分线长定理，即斯库顿定理。在△ABC中，当AD为角平分线时（图4），则有下面的线段关系：

AD ²=AB·AC- BD·DC。

设AB=x，AC=y，BD=m，DC=n，

根据角平分线定理有：AB/AC=BD/DC，即x/y=m/n,则

m=xn/y, n=ym/x。由斯特瓦尔特定理得：

AB²·DC+AC²·BD﹣AD²·BC = BC·BD·DC，即

x ²n+y ²m- AD²(m+n)= (m+n)mn,

x ²(ym/x)+y ²(xn/y) - AD²(m+n)= (m+n)mn,

xym+xyn - AD²(m+n)= (m+n)mn,

xy(m+n) - AD²(m+n)= (m+n)mn,

AD²= xy-mn,

则AD²=AB·AC-BD·DC成立。

3.平行四边形的四边对角线平方和定理，即平行四边形的四条边的边长的平方和等于对角线长的平方和。

如图5，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于M，则有AB²+AD²+DC²+BC²=AC²+BD²。

根据平行四边形的性质，对角线AC、BD相互平分，

M为BD和AC的中点，MB=MD=1/2BD；MA=MC=1/2AC。

AM、CM分别为△ABD、△BCD的中线，根据中线长定理得：

AB²+AD²=2（AM²+BM²），

BC²+CD²=2(MC²+BM²)，

由此AB²+AD²+ BC²+CD²=4 AM²+4BM²

=4（1/2AC）²+4(1/2BD) ²

= AC²+BD²,

则AB²+AD²+DC²+BC²=AC²+BD²成立。